Донецкий техникум промышленной автоматики

WikiZero - Золотое сечение

  1. Золотий перетин і гармонія в мистецтві [ правити | правити код ]
  2. Приклади свідомого використання [ правити | правити код ]
  3. Золотий перетин в біології та медицині [ правити | правити код ]

open wikipedia design.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 78780178 89 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Перша тисяча знаків значення Φ [1] .

Золотий перетин (золота пропорція, розподіл в крайньому і середньому відношенні, гармонійне розподіл ) - співвідношення двох величин a {\ displaystyle a} Золотий перетин (золота пропорція, розподіл в крайньому і середньому відношенні, гармонійне розподіл ) - співвідношення двох величин a {\ displaystyle a} і b {\ displaystyle b} , При якому велика величина відноситься до меншої так само як сума величин до більшої, тобто: a b = a + b a і b {\ displaystyle b} , При якому велика величина відноситься до меншої так само як сума величин до більшої, тобто: a b = a + b a. {\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a + b} {a}}.} Історично спочатку в давньогрецької математики золотим перетином іменувалося поділ відрізка A B {\ displaystyle AB} точкою C {\ displaystyle C} на дві частини так, що велика частина відноситься до меншої, як весь відрізок до більшої: B C A C = A B B C {\ displaystyle {\ frac {BC} {AC}} = {\ frac {AB} {BC}}} . Пізніше це поняття було поширено на довільні величини.

Число, яке дорівнює відношенню a / b {\ displaystyle a / b} Число, яке дорівнює відношенню a / b {\ displaystyle a / b} , Зазвичай позначається великої грецької буквою Φ {\ displaystyle \ Phi} , В честь давньогрецького скульптора і архітектора Фідія [2] , Рідше - грецькою буквою τ {\ displaystyle \ tau} , Зазвичай позначається великої грецької буквою Φ {\ displaystyle \ Phi} , В честь давньогрецького скульптора і архітектора Фідія [2] , Рідше - грецькою буквою τ {\ displaystyle \ tau} . З вихідного рівності (наприклад, представляючи a або навіть a / b незалежної змінної і вирішуючи виведене з вихідного рівності квадратне рівняння) неважко отримати, що число

Φ = 1 + 5 2 {\ displaystyle \ Phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}} Φ = 1 + 5 2 {\ displaystyle \ Phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

Зворотне число, що позначається рядкової буквою φ {\ displaystyle \ varphi} Зворотне число, що позначається рядкової буквою φ {\ displaystyle \ varphi} [2] , [2] ,

φ = 1 Φ = - 1 + 5 2 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {\ Phi}} = {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}}} φ = 1 Φ = - 1 + 5 2 {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1} {\ Phi}} = {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

Звідси слідує що

φ = Φ - 1 {\ displaystyle \ varphi = \ Phi -1} φ = Φ - 1 {\ displaystyle \ varphi = \ Phi -1} .

Число Φ {\ displaystyle \ Phi} Число Φ {\ displaystyle \ Phi} називається також золотим числом називається також золотим числом.

Для практичних цілей обмежуються приблизними значенням Φ {\ displaystyle \ Phi} Для практичних цілей обмежуються приблизними значенням Φ {\ displaystyle \ Phi} = 1,618 або Φ {\ displaystyle \ Phi} = 1,62 = 1,618 або Φ {\ displaystyle \ Phi} = 1,62. У процентному заокруглені значення золотий перетин - це поділ будь-якої величини щодо 62% і 38%.

Золотий перетин має безліч чудових властивостей, але, крім того, йому приписують і багато вигадані властивості [3] [4] [5] .

У дійшла до нас античній літературі поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) вперше зустрічається в «Початки» Евкліда (Бл. 300 років до н. Е.), Де воно застосовується для побудови правильного п'ятикутника .

лука Пачолі , Сучасник і друг Леонардо Да Вінчі , Вбачав у цьому відношенні «божественну суть», яка має триєдність Бога Отця, Сина і Святого Духа [6] .

Невідомо точно, хто і коли саме вперше ввів в обіг термін «золотий перетин». Незважаючи на те, що деякі авторитетні автори пов'язують появу цього терміна з Леонардо Да Вінчі в XV столітті [7] або відносять появу цього терміна до XVI століття [8] , Найраніше вживання цього терміна знаходиться у Мартіна Ома в 1835 році в примітці до другого видання його книги «Чистий елементарна математика» [9] , В якому Ом пише, що цей розмір часто називають золотим перетином ( ньому. goldener Schnitt). З тексту примітки Ома випливає, що Ом не придумав цей термін сам [10] [11] , Хоча деякі автори стверджують зворотне [12] . Проте, виходячи з того, що Ом не вживає цей термін у першому виданні своєї книги [13] , Роджер Герц-Фішлер робить висновок про те, що цей термін, можливо, з'явився в першій чверті XIX століття. [14] Маріо Лівіо вважає, що він отримав популярність в усній традиції близько 1830 року. [15] У будь-якому випадку, цей термін став поширений в німецькій математичній літературі після Ома. [16]

1 Φ = φ = tg ⁡ (arctg ⁡ (2) 2) = 2 1 + 1 + 2 + 2 = 2 1 + 5 = 5 - 1 2. {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Phi}} = \ varphi = \ operatorname {tg} \ left ({\ frac {\ operatorname {arctg} (2)} {2}} \ right) = {\ frac {2} {1 + {\ sqrt {1 + 2 ^ {2}}}}} = {\ frac {2} {1 + {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {{\ sqrt {5 }} - 1} {2}}.} 1 Φ = φ = tg ⁡ (arctg ⁡ (2) 2) = 2 1 + 1 + 2 + 2 = 2 1 + 5 = 5 - 1 2 придатними дробами якої служать відносини послідовних чисел Фібоначчі F n + 1 F n {\ displaystyle {\ frac {F_ {n + 1}} {F_ {n}}}} . Таким чином, Φ = | A B | | A E | = | A E | | B E | . {\ Displaystyle \ Phi = {\ frac {| AB |} {| AE |}} = {\ frac {| AE |} {| BE |}}.}

Тоді як Σ n = 1 ∞ 1 n 2 (2 nn) = π 2 18 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} {\ binom { 2n} {n}}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {18}}} Тоді як Σ n = 1 ∞ 1 n 2 (2 nn) = π 2 18 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} {\ binom { 2n} {n}}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {18}}} [ Джерело не вказано 1230 днів ] [ Джерело не вказано 1230 днів ]

Золоте число виникає в різних завданнях, в тому числі у фізиці. Наприклад, нескінченна електричний ланцюг , Наведена на малюнку, має загальне опір (Між двома лівими кінцями) Ф · r.

існують коливальні системи , Фізичні характеристики яких (відносини частот , амплітуд та ін.) пропорційні золотого перетину. Найпростіший приклад - система з двох кульок, з'єднаних послідовно пружинами однаковою жорсткості (Див. Рисунок).

Повністю ці два завдання розглядаються в книзі «У пошуках п'ятого порядку», глава «Дві прості завдання» [19] . Більш складні приклади на механічні коливання і їх узагальнення розглядаються в цій же книзі, в розділі «Узагальнення однієї простої задачі з механіки». У книзі наведено багато прикладів прояву та застосування золотого перетину в різних областях наук - небесної механіки , фізики , геофізики , біофізики , фізичної хімії , біології , фізіології .

Золотий перетин сильно пов'язано з симетрією п'ятого порядку, найбільш відомими тривимірними представниками якої є додекаедр і ікосаедр . Можна сказати, що скрізь, де в структурі проявляються додекаедр, ікосаедр або їх похідні, там в описі буде з'являтися і золотий перетин. Наприклад, в просторових угрупованнях з Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, ..., В-1708 році, мають ікосаедрічеськая симетрію [20] . молекула води , У якій кут розбіжності зв'язків Н-О дорівнює 104.70, тобто близький до 108 градусів (кут в правильному п'ятикутнику ), Може з'єднуватися в плоскі і тривимірні структури з симетрією п'ятого порядку. Так в розрідженій плазмі був виявлений Н + (Н20) 21, який представляє з себе іон Н30 +, оточений 20 молекулами води, розташованими в вершинах додекаедру [21] . У 80-х роках XX століття були отримані клатратного з'єднання , що містять гексааквакомплекс кальцію , Оточений 20 молекулами води, розташованими в вершинах додекаедру [22] . Є і клатратного моделі води, в яких звичайна вода частково складається з молекул води, з'єднаних в структури з симетрією п'ятого порядку. Такі структури можуть складатися з 20, 57, 912 молекул води [23] .

Золотий перетин і гармонія в мистецтві [ правити | правити код ]

Деякі з тверджень на доказ гіпотези знання древніми правила золотого перетину:

  • пропорції піраміди Хеопса , Храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перетину при їх створенні.
  • згідно ле Корбюзьє , В рельєфі з храму фараона мережі I в Абидосе і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса , Пропорції фігур відповідають золотому перетину. У фасаді давньогрецького храму Парфенона також присутні золоті пропорції. У циркулі з давньоримського міста Помпеї (Музей в Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу, і т. Д. Під час обговорення оптимальних співвідношень сторін прямокутників (розміри аркушів паперу A0 і кратні, розміри фотопластинок (6: 9, 9:12) або кадрів фотоплівки (часто 2: 3), розміри кіно- і телевізійних екранів - наприклад, 4: 3 або 16: 9) були випробувані найрізноманітніші варіанти. Виявилося, що більшість людей не сприймає золотий перетин як оптимальний і вважає його пропорції «занадто витягнутими» [ Джерело не вказано 3598 днів ].
  • Слід зазначити, що сама пропорція є, скоріше, еталонним значенням, матрицею, відхилення від якої у біологічних видів, можливо, викликані пристосуванням до навколишнього середовища в процесі життя. Прикладом таких «відхилень» може служити морська камбала.

Приклади свідомого використання [ правити | правити код ]

Починаючи з Леонардо Да Вінчі , Багато художників свідомо використовували пропорції «золотого перетину». російський зодчий І. В. Жолтовський використав золотий перетин в своїх проектах [24] . Іоган Себастьян Бах в своїй трёхголосной інвенції E-dur № 6 BWV 792 використовував двухчастную форму, в якій співвідношення розмірів частин відповідає пропорціям золотого перетину. 1 частина - 17 тактів, 2 частина - 24 такту (невеликі невідповідності вирівнюються за рахунок Фермата в 34 такті) [ Джерело не вказано 823 дня ].

Сучасними прикладами застосування золотого перетину може служити мозаїка Пенроуза і пропорції державного прапора того .

Золотий перетин в біології та медицині [ правити | правити код ]

Живі системи також мають властивості, характерними для «золотого перетину». Наприклад: пропорції тіл, спіральні структури або параметри біоритмів [25] [ неавторитетний джерело? ] та ін.

  1. ↑ Взята з прикладу результату комп'ютерного розрахунку (1996 роки) з набагато більшим числом знаків, ніж 1000 Golden ratio 1 000 digits
  2. ↑ 1 2 Савін А. Число Фідія - золотий перетин (Рос.) // "Квант": Науково-популярний фізико-математичний журнал (видається з січня 1970 року). - 1997. - № 6.
  3. ↑ Радзюкевич А. В. Красива казка про «золотий перетин»
  4. ↑ Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number
  5. ↑ Devlin's Angle, The Myth That Will Not Go Away
  6. ↑ В. Лаврус, Золотий перетин
  7. ↑ François Lasserre. The birth of mathematics in the age of Plato . - American Research Council, 1964-01-01. - 200 с. - P. 76.
  8. ↑ Boyer, Carl B. A History of Mathematics. - Second Edition. - John Wiley & Sons, Inc., 1991. - P. 50. - ISBN 0-471-54397-7 .
  9. ↑ Martin Ohm. Die reine Elementar-Mathematik . - 2-е вид. - Jonas Verlags-buchhandlung, 1835. - С. 194. - 454 с.
  10. ↑ Herz-Fischler, 2013 , P. 168.
  11. ↑ Livio, 2008 , P. 6-7.
  12. ↑ Василенко С. Л. Знак-символ золотого перетину // Академія Тринітаризму. - М., 05.02.2011. - № Ел № 77-6567, публ. 16335.
  13. ↑ Martin Ohm. Die reine Elementar-Mathematik . - 1-е изд .. - Berlin, 1826. - 492 с. - P. 188.
  14. ↑ Herz-Fischler, 2013 , P. 169.
  15. ↑ Livio, 2008 , P. 7.
  16. ↑ Herz-Fischler, 2013 , P. 169-170.
  17. ↑ Тоні крилля. Математика: 50 ідей, про які потрібно знати = 50 Mathematical Ideas you really need to know . - Phantom Press. - 209 с. - ISBN 9785864716700 .
  18. ↑ системи числення (неопр.).
  19. ↑ Ковальов О.М. У пошуках п'ятого порядку. - 2017. - 374 с. - ISBN 978-5-4485-3753-0 .
  20. ↑ Сучасна Кристаллография / під ред. Вайнштейна Б. К .. - Т.2. - М.: Мир, 1979.
  21. ↑ Holland PM Casteiman AW A model for the formation and stabilization of chorqed water cluthrates // J. Chem. Phys .. - 1980. - Т. 72, № 1 (11). - С. 5984.
  22. ↑ Електромагнітні поля в біосфері. - Збірник праць конференції, Т.2. - М., 1984. - С. 22.
  23. ↑ Зенін С.В. Структурований стан води як основа управління поведінкою і безпекою живих систем. - Дисертація докт. біол. наук. - М., 1999..
  24. ↑ Золотий запас зодчества архівна копія від 29 січня 2009 на Wayback Machine
  25. ↑ Цвєтков, В. Д. Серце, золотий перетин і симетрія. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997. - 170 с.
  • Аракелян Г. Б. Математика і історія золотого перетину. - М .: Логос, 2014 року, 404 с. - ISBN 978-5-98704-663-0 .
  • Бендукідзе А. Д. Золотий перетин « Квант »№ 8, 1973
  • Васютинський Н. А. Золота пропорція. - М .: Молода гвардія , 1990. - 238 [2] c. - ( Еврика ).
  • Власов В. Г. Новий енциклопедичний словник образотворчого мистецтва: В 10 т. - Т.3. - СПб .: Азбука-Классика, 2005. - С.725-732.
  • Власов В. Г. Мистецтво Росії в просторі Євразії. - Т.3. Класичне мистецтвознавство і «русскій мір». - СПб .: Дмитро Буланін, 2012. - С.156-192.
  • Мазель, Л.А. Досвід дослідження золотого перетину в музичних побудовах в світлі загального аналізу форм // Музична освіта. - 1930. - № 2. - С. 24-33.
  • Сабанеев Л. Л. Етюди Шопена у висвітленні закону золотого перетину. Досвід позитивного обгрунтування законів форми // Мистецтво. - 1925. - № 2. - С. 132-145; 1927. - № 2-3. - С. 32-56.
  • Шмигевський М. В. Формула досконалості // Країна знань. - 2010. - № 4. - С.2-7.
  • Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number . - Crown / Archetype, 2008. - 303 с. - ISBN 9780307485526 . Російський переклад в
Маріо Лівіо . φ - Число Бога. Золотий перетин - формула світобудови

. - Litres, 2015-04-17. - 481 с. - ISBN 9785457762732 .