Система лінійних рівнянь - це об'єднання з лінійних рівнянь, кожне з яких містить змінних. Записується це так:

Багато, вперше стикаючись з вищої алгеброю, помилково вважають, що число рівнянь обов'язково має збігатися з числом змінних. У шкільній алгебрі так зазвичай і буває, однак для вищої алгебри це, взагалі кажучи, невірно.

Рішення системи рівнянь - це послідовність чисел (1, 2, ...,), яка є рішенням кожного рівняння системи, тобто при підстановці в це рівняння замість змінних 1, 2, ..., дає вірну числову рівність.

Відповідно, вирішити систему рівнянь - означає знайти безліч всіх її рішень або довести, що це безліч порожньо. Оскільки число рівнянь і число невідомих може не збігатися, можливі три випадки:

1. Система несовместна, тобто безліч всіх рішень порожньо. Досить рідкісний випадок, який легко виявляється незалежно від того, яким методом вирішувати систему.
2. Система сумісна і визначена, тобто має рівно одне рішення. Класичний варіант, добре відомий ще зі шкільної лави.
3. Система сумісна і не визначена, тобто має нескінченно багато рішень. Це найжорсткіший варіант. Недостатньо вказати, що «система має безліч рішень» - треба описати, як влаштовано це безліч.

Мінлива називається дозволеної, якщо вона входить тільки в одне рівняння системи, причому з коефіцієнтом 1. Іншими словами, в інших рівняннях коефіцієнт при змінної має дорівнювати нулю.

Якщо в кожному рівнянні вибрати по одній дозволеної змінної, отримаємо набір дозволених змінних для всієї системи рівнянь. Сама система, записана в такому вигляді, теж буде називатися дозволеної. Взагалі кажучи, одну і ту ж вихідну систему можна звести до різних дозволеним, однак зараз нас це не хвилює. Ось приклади дозволених систем:

Обидві системи є дозволеними щодо змінних 1, 3 і 4. Втім, з тим же успіхом можна стверджувати, що друга система - дозволена щодо 1, 3 і 5. Досить переписати найостанніше рівняння у вигляді 5 = 4.

Тепер розглянемо більш загальний випадок. Нехай все у нас змінних, з яких є дозволеними. Тоді можливі два випадки:

1. Число дозволених змінних дорівнює загальній кількості змінних: =. Отримуємо систему з рівнянь, в яких = дозволених змінних. Така система є спільною і певної, тому що 1 = 1, 2 = 2, ..., =;
2. Число дозволених змінних менше загального числа змінних: <. Решта (-) змінних називаються вільними - вони можуть приймати будь-які значення, з яких легко обчислюються дозволені змінні.

Так, в наведених вище системах змінні 2, 5, 6 (для першої системи) і 2, 5 (для другої) є вільними. Випадок, коли є вільні змінні, краще сформулювати у вигляді теореми:

Зверніть увагу: це дуже важливий момент! Залежно від того, як ви запишете підсумкову систему, одна і та ж змінна може бути як дозволеної, так і вільною. Більшість репетиторів з вищої математики рекомендують виписувати змінні в лексикографічному порядку, тобто по зростанню індексу. Однак ви зовсім не зобов'язані дотримуватися цієї поради.

Теорема. Якщо в системі з рівнянь змінні 1, 2, ..., - дозволені, а + 1, + 2, ..., - вільні, то:

1. Якщо задати значення вільним змінним (+ 1 = + 1, + 2 = + 2, ..., =), а потім знайти значення 1, 2, ...,, отримаємо одне з рішень.
2. Якщо в двох рішеннях значення вільних змінних збігаються, то значення дозволених змінних теж збігаються, тобто рішення рівні.

У чому сенс цієї теореми? Щоб отримати всі рішення дозволеної системи рівнянь, досить виділити вільні змінні. Потім, привласнюючи вільним змінним різних значень, будемо отримувати готові рішення. Ось і все - таким чином можна отримати всі рішення системи. Інших рішень не існує.

Висновок: дозволена система рівнянь завжди сумісна. Якщо число рівнянь в дозволеної системі дорівнює числу змінних, система буде визначеною, якщо менше - невизначеною.

І все б добре, але виникає питання: як з вихідної системи рівнянь отримати дозволену? Для цього існує метод Гаусса .

Дивіться також:

1. метод Гаусса
2. Робота з формулами в завданні B12
3. Рішення ЄДІ-2011: варіант 1, частина B
4. Рішення задач B1: №17-32
5. Тест за методом інтервалів для строгих нерівностей
6. Тест за завданнями B14: легкий рівень, 1 варіант