1. Підведемо підсумки

Якщо дуже коротко, то негативні числа - це числа, які менше нуля. Перед негативними числами прийнято ставити знак "мінус". При цьому число читають як: "мінус [число]". Давайте спробуємо розібратися, що б могло означати "менше нуля"?

Ми звикли, що в житті оточуючі нас об'єкти мають якусь кількість, як правило більше, ніж нуль. Тобто, перед Вами зараз стоїть один (або більше) монітор, з якого Ви читаєте цю статтю. Поруч з Вами може лежати кілька олівців, наприклад - три; і можна зрозуміти, що ж означає число "три". А якщо олівців поруч з Вами немає, то можна сказати: "поруч з Вами нуль олівців". І стане зрозуміло, що ж означає число "нуль" - відсутність чого-небудь. Але як зрозуміти "числа менше нуля"?

Уявіть, що Ви повинні комусь віддати три яблука, а у Вас немає жодного. Ось цей борг в математиці і прийнято позначати негативним числом. Вважається, що у Вас "мінус три яблука". Коли Ви йдете в сад і зриваєте одне яблуко, здається, що у Вас тепер є одне яблуко, але Ви повинні його віддати. У Вас як і раніше немає яблук, але борг Ваш тепер дорівнює двом яблукам. Вважається, що тепер у Вас "мінус два яблука". Тобто, спочатку у Вас було навіть менше ніж "нуль" яблук - так як перші отримані Вами яблука, Ви повинні віддати. Коли Ви зірвете і віддасте третій яблуко, то буде вважатися, що Ви тепер не повинні нікому яблука віддавати. Але в руках у Вас як і раніше немає яблук. Вважається, що тільки зараз у Вас стало "нуль" яблук. Тепер, все зірвані Вами яблука - Ваші і Ви можете нарвати їх стільки, скільки захочете - два, три, п'ять, десять і т.д.

На числової осі негативні числа позначаються зліва від початку відліку (в протилежному збільшення чисел напрямку):

Тобто число "нуль" розділяє позитивні і негативні числа. Саме число "нуль" не відноситься ні до позитивних, ні до негативних. Ось таке ось воно особливе. Можна тільки сказати, що воно ціле число.

Зверніть увагу, що чим ближче до нуля, тим значення негативного числа (частина, що стоїть після знака "мінус") менше.

У навколишньому світі негативні числа найпростіше знайти на термометрі: його шкала має і позитивну область, і негативну. Це через те, що за "нуль" пріянть температура замерзання води, а взимку на вулиці може бути ще холодніше, тобто температура нижче, і її теж якось потрібно позначати.

Негативні числа мають властивості, відмінні від властивостей чисел позитивних. Так, знаки порівняння, крім рівності, змінюються:

-5 = -5

-2

-15> -100.

Порівняйте з

2> 1

15

У попередньому прикладі ми по суті розглянули операцію складання негативного числа з позитивним (числа, які більше нуля) - так, кожен раз "зриваючи яблуко", ми по суті прібавялі до нашого негативного числа - боргу - число один. На числовій прямій це повністю відповідає операції додавання:

Взагалі, для кожного позитивного числа існує, причому тільки одне, таке негативне число, що їх сума дає нуль. Причому, відрізнятися вони будуть тільки знаком - негативне число матиме знак "мінус". Якщо позначити будь-яке позитивне число як n, то попередню думку можна записати математично:

-n + n = 0

Подібні числа називаються протилежними.

при відніманні більшого числа з меншого, у відповіді отримують негативне число. Наприклад: обчислимо на числової осі 3-5. Засікаємо на числової осі число "три" і рухаємось вліво на п'ять відрізків:

Опиняємося в точці "мінус два". Таким чином, отримуємо

3 - 5 = -2.

Взагалі, складання позитивного і негативного числа можна представити як віднімання з позитивного числа протилежного негативного числа числа (про як завернув! Щоб зрозуміти таке напевно доведеться прочитати кілька разів). Тобто, суму "п'ять" і "мінус три" можна замінити на різницю "п'яти" і трьох ", так як числа" мінус три "і" три "є протилежними:

5 + (-3) = 5 - 3.

Зворотна операція теж дозволена. Зверніть увагу, в лівій частині рівності негативно число взято в дужки - це для того, щоб відокремити знак самого числа від знака математичної операції.

Набагато цікавіше інший випадок - а якщо ми захочемо скласти або відняти два від'ємних числа ?! Не лякайтеся, мудра математика знає відповідь і на це питання: в такому випадку кожний доданок записується в дужках, між якими записуються знаки додавання або віднімання; далі розкривають дужки і отримують звичайне математичне вираз.

Ми розібралися, як в пам'яті комп'ютера представлені, тобто числа без знака. Але ж числа бувають і негативними, тобто числа зі знаком мінус. Щоб застосовувати ті ж самі байти і слова для представлення негативних чисел, існує спеціальна операція, яка називається додаток до двох. Але перш ніж розглянути цю операцію, покажемо, як негативне число відрізнити від позитивного.

Для того щоб вказати знак числа, досить одного розряду (біта). Зазвичай знаковий біт займає старший розряд числа. Якщо старший біт числа дорівнює 0, то число вважається позитивним. Якщо старший розряд числа дорівнює 1, то число вважається негативним. Приклад байта зі знаком наведено на рис. 2.3.

1 0 0 1 0 0 1 0 -110 0 1 1 0 1 1 1 0 +110

Мал. 2.3. Негативне число в пам'яті комп'ютера.

Як ви встигли помітити, для представлення числа зі знаком потрібно використовувати старший біт для визначення знака числа. Це означає, що цей старший біт вже не можна використовувати для запису самого числа, тобто максимальне значення, яке ми зможемо записати в байт, буде вже не 255, а всього 127. Діапазони можливих значень чисел зі знаком наведені в таблиці 2.5.

Таблиця 2.5. Діапазони можливих значень чисел зі знаком.

А тепер розберемося з загадковою операцією доповнення до двох. Щоб змінити знак, виконується інверсія, тобто для числа в двійковому поданні всі нулі замінюються одиницями, а всі одиниці - нулями. Потім до отриманого результату додають 1. Візьмемо, наприклад, десяткове число 110 (в двійковій системі це число 01101110). тоді

Як бачимо, після виконання цих перетворень в старшому розряді у нас 1, тобто число негативне. А тепер перевіримо, що це число дійсно негативне. Як це зробити? Згадаймо, що (-110 + 110 = 0). Тобто складання отриманих нами двійкових чисел теж має дати в результаті нуль. Отже

01101110 + 10010010 = 100000000 Тобто у нас вийшло девятіразрядний число 100000000 (десяткове 256). Однак ми працюємо з байтом, а в байті, як відомо, тільки 8 біт (від 0 до 7). Тобто одиниця у нас перейшла в 8-й біт, якого в байті просто немає. Тобто для байта це еквівалентно числу 0.

У деяких джерелах доповнення до двох носить назву двійковий додатковий код.

Підведемо підсумки

Перетворення позитивного десяткового числа зі знаком в двійкове число виконується також як і для чисел без знака.

Перетворення негативного десяткового числа зі знаком в негативне двійкове число виконується за допомогою операції доповнення до двох (з використанням двійкового додаткового коду). Тобто спочатку число перетворюється в двійкове, а потім використовується двійковий додатковий код.

Перетворення позитивного двійкового числа зі знаком (в старшому бите 0) в десяткове число виконується також як і для чисел без знака.

Перетворення негативного двійкового числа (в старшому бите 1) в десяткове число виконується шляхом знаходження його додаткового коду. Тобто для двійкового числа 10010010 операція буде наступною:

В результаті отримуємо число 110, але оскільки в вихідному числі старший біт дорівнював 1, то це негативне число, тобто -110.

Закладки

Діалектичний ОСНОВИ МАТЕМАТИКИ ПЕРЕДМОВА ВСТУП (ЗАГАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ НАУК ПРО ЧИСЛІ) ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ ЧИСЛА - - - I. відмежування (ВСТАНОВЛЕННЯ числові перший-ПРИНЦИПА) II. ФУНДАМЕНТАЛbНИЙ АНАЛІЗ ЧИСЛА (ЧИСЛО ЯК ЧИСТЕ ПОНЯТТЯ) III. ОСНОВНІ АКСІОМИ ЧИСЛА (ЧИСЛО ЯК МІРКУВАННЯ) IV. ФУНКЦІЯ І сусідніх КАТЕГОРІЇ (ЧИСЛО ЯК судження, умовиводи, ДОКАЗАТЕЛbСТВО І ВИРАЖЕННЯ) V. Перехід до СПЕЦІАЛbНОЙ ТЕОРІЇ ЧИСЛА ПРО МЕТОД НЕСКІНЧЕННО-МАЛИХ В ЛОГІКА ПЕРЕДМОВА 1. ВСТУП 2. ВЕЩb - АРГУМЕНТ І ОТРАЖЕНИЕ-ФУНКЦІЯ 3. ЗМІНИ цих аргументів І ФУНКЦІЇ І СТАВЛЕННЯ МІЖ ЦИМИ ЗМІНАМИ 4. ЗНАЧЕННЯ ТЕОРІЇ МЕЖ ДЛЯ логіки 5. ЛЕНІН Про МЕЖІ, ПРО ЗАГАЛОМ І Про ЗАКОНІ 6. ПРИКЛАДИ З НАУК 7. ДАЛbНЕЙШІЕ КАТЕГОРІЇ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ЛОГІКА 8. ПОХІДНА В ЛОГІКА 9. ПЕРЕВАГИ ІНФІНІТЕЗІМАЛbНОГО НАВЧАННЯ Про пОНЯТТІ У СРА Неніі З ТРАДИЦІЙНИМ ФОРМАЛbНО-логічних 10. ДИФЕРЕНЦІАЛ В ЛОГІКА 11. Інтеграл В ЛОГІКА 12. ПОХІДНА, ДИФЕРЕНЦІАЛ І ІНТЕГРАЛ НА ТЛІ ЗАГАЛЬНОГО НАВЧАННЯ Про ЧИСЛІ 13. ТРИ АСПЕКТИ ТЕОРІЇ НЕСКІНЧЕННО-МАЛИХ В ЗАСТОСУВАННІ До ЛОГІКА 14. ЖИТТЄВО-ЛОГІЧНЕ ЗНАЧЕННЯ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ 15 . ІНФІНІТЕЗІМАЛbНО-Логічний СЛОВАРb 16. ЗАКЛЮЧІТЕЛbНИЕ ЗАУВАЖЕННЯ ДЕЯКІ ЕЛЕМЕНТАРНІ РОЗДУМИ ДО ПИТАННЯ ПРО ЛОГІЧНИХ ЗАСАДИ ОБЧИСЛЕННЯ НЕСКІНЧЕННО-МАЛИХ I. ЛОГІКА ОБЧИСЛЕННЯ НЕСКІНЧЕННО-МАЛИХ ЯК ВІДОБРАЖЕННЯ СОЦІАЛbНОЙ ДЕЙСТВІТЕЛbНОСТІ II. Обчислення НЕСКІНЧЕННО-МАЛИХ І ЙОГО ОСНОВНІ КАТЕГОРІЇ III. ДІФФЕРЕНЦІАЛbНОЕ І ІНТЕГРАЛbНОЕ Обчислення. ЇХ Логічний СКЛАД МАТЕМАТИКА І ДИАЛЕКТИКА. Метаматематику ОЛЕКСІЯ ЛОСЄВА ПРИМІТКИ

3. У цьому пункті, однак, легко збитися з діалектичного шляху і сплутати весь логічний аналіз типів числа. Саме, то твердження числа в ідеї, яку покладається запереченням, очевидно, знову-таки не є абсолютне його твердження в ідеї. Якби це було так, то дана діалектична стадія числа нічим би не відрізнялася від того чистого поняття числа, яке ми мали раніше, і негативного і навіть позитивного числа. Це було число само по собі, число просто, і ніякої новини воно в собі не містило б, незважаючи на наявність вже двох нових великих категорій - ствердження і заперечення. Очевидно, що як саме заперечення числа в негативному числі мислилося не абсолютно, але щодо, так і породжене цим запереченням нове ідеальне твердження числа (вірніше, твердження, тотожне з цим запереченням) володіє знову-таки не абсолютним, але відносним характером, т. Е . в ньому якось зберігається і вказівка ​​на стихію дійсності числа, на факт і субстанцію числа. Чистий ідея цифри не позитивна і не негативна; і, поняттям чистого числа, рівно нічого не можна визначити і зрозуміти в негативному числі. Точно так же треба сказати, що і чистий факт числа, бо свідчить про його позитивності, т. Е. Належності, рівно нічого не говорить про ідею числа, не переходить, саме в собі узяте, в ідею числа і, отже, теж нічим не допомагає при аналізі поняття негативного числа. - Отже, заперечення, дане в негативному числі, не тільки є якесь твердження цього числа в його ідеї, але це твердження є ще й відносне, а не абсолютне твердження, т. Е. Таке ідеальне твердження, яке зберігає зв'язок з твердженням насправді, на факті.

4. Залишається, отже, проаналізувати характер самої зв'язку цієї ідеальної твердження, або смисловий належності, з фактичної утвержденно-стю, або положення, зв'язку, здійсненої за допомогою заперечення факту. Що це за зв'язок? Абсолютно ясно, що негативне число не є ні число просто, ні відсутність числа. У першому випадку воно не відрізнялося б від абсолютного числа, у другому - воно не відрізнялося б від нуля. Це є таке полагание числа, яке вказує на його заперечення, і таке заперечення, яке вказує на його полагание. Негативне число є ідея числа (і в цьому сенсі воно заперечення числа як факту), але це є ідея не просто числа, але ідея небуття числа (і цим самим сюди зводиться момент, який вказує на якесь відношення до буття). Негативне число є ідея небуття числа. Думка тут розвивається як би в такому напрямку: це число мало б бути, але його немає; або - число є, але воно не приймається, не сприймається; число є, але думка усуває його, відкидає його від себе або відштовхується від нього. Негативне число є заперечення позитивного числа, відсунення його в сторону (не знищення або руйнування), відкидання в сторону і приміщення на його місце тільки однієї простої ідеї його. У цьому силовому, динамічному моменті і полягає весь секрет негативного числа. У негативному числі ми не знищуємо число (повторюю, це означало б, що будь-яке негативне число дорівнює нулю), а тільки усуваємо його з поля зору, зрушуємо з плану фіксованої.

Коли ми виробляли твердження числа, ми ж теж витрачали якесь уявне зусилля, і здійснювався певний смисловий акт, якась смислова теорія числа. Число як ідея і число як факт є різний; щоб отримати число як факт, треба як би насильно цю ідеальну природу числа притягнути до стадії матерії, як би покласти відбиток числа на ній, затратити своєрідну «мускульну» силу, щоб придушити цю смислове друк до матерії. Таку ж «силу» треба затратити і для отримання негативного числа. Тільки в першому випадку ми, стверджуючи число як факт, припечатує буттєвих стадію матерії і відштовхували всяке інобуття, вірніше, самі відштовхувалися від нього, відтісняли інобитійность стадію матерії, щоб здійснити число як буття, або, що те ж, щоб здійснити матерію як буття. У другому ж випадку, стверджуючи число як заперечення числа, заперечуючи число, отримуючи негативне число, ми, навпаки, знімаємо смислове друк з матерії, і вона йде, розпливається з-під нашої друку, втрачаючи обриси цієї печатки, цього числа, відтісняє від цього числа його буття, відштовхуємо це буття, як би насильно розштовхуємо його руками в різні боки, залишаючи на його місці повну порожнечу і відсутність буття. Негативне число, таким чином, є, як ідея небуття числа, енергійних відсторонення позитивного числа; це енергія небуття числа, становлення числового інобуття, становлення інобуття числа.

5. Слід пам'ятати, що всі висловлені нами тільки що деталі поняття негативного числа є не що інше, як звичайнісінькі деталі всякого діалектичного моменту, іменованого як антитеза. Не тільки в застосуванні до негативного числа як антитеза [у] позитивного числа, але рішуче всюди в діалектиці, де ми тільки зустрічаємо антитеза, готівкою ці моменти відносного заперечення, відносного утвердження, відносного буття і відносного небуття і, нарешті, активного становлення буття інобуття і небуття - буттям. Це і є та енергій-ва взаімосоотнесенность буття з небуттям, ідеї з фактом, що є основою діалектичного методу і, зокрема, діалектичної тріади. Будь-яке інобуття є 1) відносне заперечення буття, 2) відносне полагание буття в ідеї і 3) активне становлення інобуття, відразливе від себе і як би розштовхує в сторони всю буттєвих стадію дійсності.

6. Тому буде цілком точно і досить, якби визначили негативне число як просто антитеза позитивного числа.

Негативне число є число як інобуття в сфері чисто числовий, активно стає заперечення числа- в сфері чистого же числа.

Можна було б і не витрачати тих небагатьох слів, які ми вжили для характеристики негативного числа як антитези. Однак звичайне сухе, формальне і неживе розуміння і трактування діалектичного антитези могло б затушувати справжній зміст негативного числа. Тому, визначаючи останню як антитеза позитивного числа, необхідно твердо всі істотні і живі смислові струми, які пронизують всяке інобуття і всякий антитеза.

§ 93. с) Нуль.

1. Що є синтезом позитивного і негативного числа? Адже цей синтез так само елементарно необхідний і так само виразно <...>, як і наявність позитивного і негативного числа. Не може не бути такої єдності, і ми повинні переглянути всю сферу математики з метою знайти такий тип числа, який би адекватно відповідав цьому синтезу. Звичайно, потрібно і тут розуміти цей синтез НЕ сухо і нудно, як неминуче зло, насильно нав'язане ззовні. Треба його зрозуміти як справді життєву і розумову потребу, як логіку внутрішньої основи самого буття. Тоді і відповідна числова структура заб'ється як жива істота діалектичної думки, і виявляться ті її таємниці, які не відомі ні філософу, придатному до неї антідіалектіческім, ні математику, придатному до неї технічно-обчислювально. </ ...>

2. а) Спробуємо ясно уявіті Собі цею синтез як такой - спочатку без! Застосування до числа. Тут теж абсолютно проста и Елементарна діалектічна категорія, якові, однак, доводиться розтлумачуваті через звічайної неясності и формалізму, внесених сюди людьми, Яким чужа діалектіка як Справжній и в нутрі живий метод філософії. Що таке синтез Взагалі? Синтезом в діалектіці Взагалі назівається категорія, в Якій збігаються и зліваються до полного невпізнання тезу и антитезу. Теза и антитеза настолько пронікають один одного, настолько об'єднуються, что виходе повне и абсолютне їх тотожність, тотожність, в якому Вже нельзя розрізніті тези и антитези, хоча смороду продолжают в цьом сінтезі містітіся. Для будь-якої пари тези і антитези треба пошукати таке слово, яке б, позначаючи шуканий синтез, поєднало б в своєму значенні і сенс тези, і сенс антитези. Якщо мати на увазі ідею і факт (або факт і ідею) як теза і антитеза, то найближчим і найпростішим синтезом цих двох категорій, синтезом не взагалі, але саме діалектичним синтезом, буде категорія кордону. Не варто, звичайно, про це поширюватися тут докладно; для повного і точного з'ясування діалектичної сенсу цієї категорії необхідно звернутися до більш загальним трудів зі діалектиці. Тут ми нагадаємо лише найсуттєвіше, без чого ця категорія втратила б будь-який сенс.

b) Чому межа є синтез ідеї і її інобуття, або ідеї і факти, або, висловлюючись в самій загальній формі, буття і небуття. Буття, здійснюючи, відрізняється, відштовхується від небуття; і як тільки це отліченіе закінчується, буття отримує визначеність, т. е. сформулированности, за допомогою межі, кордону. Визначити для діалектики завжди означає обмежити, бо без точного проведення кордону з усім буттям, що не відносяться до визначеного буття, т. Е. З інобуття, з небуттям, не може відбутися і фіксація того, що входить в обумовлений буття, т. Е. може відбутися саме визначення. Отже, межа, визначеність є перший і найближчий закінчений результат синтезування буття і небуття. Але якщо це так, то абсолютно марно ставити питання про те, до чого відноситься межа-до буття або до небуття. Часто важко питанням про те, до чого відноситься межа, т. Е. Окружність кола, - до самого чи колі або до навколишнього його тла. Тут може бути тільки діалектична вирішення питання. 1) Кордон буття є тільки тому межа буття, що вона є момент самого буття. Інакше буття виявиться позбавленим кордону і, отже, втратить визначеність. 2) Кордон буття відноситься до небуття, тому що створює цю межу є саме небуття, і без наявності небуття не було б нічого, від чого буття відрізнялося б, т. Е. Не було б самого кордону. 3) Кордон буття не відноситься до буття, тому що буття є саме ще тільки те, що потребує визначення і обмеження, і внесення кордону буття до складу самого буття вимагало б наявності ще нового кордону для визначення буття, яка вже не входила б до складу самого буття. 4) Кордон буття не відноситься до інобуття, або небуття, і не становить його частини, тому що, складаючи частину інобуття, вона і залишалася б в надрах інобуття, і не виходила б для зустрічі з буттям і для його обмеження. Отже, межа буття є і буття, і небуття і не є ні буття, ні небуття, і все це - при абсолютно однозначне вживанні всіх цих термінів. Кордон тому і є синтез буття і небуття, що вона одночасно є і те, і це і ні те, ні це. Така природа і всякого діалектичного синтезу - щодо відповідних тези і антитези.

Ми знаємо, що якщо скласти два або кілька натуральних чисел , То в результаті отримаємо натуральне число. Якщо перемножать натуральні числа між собою, то в результаті завжди виходять натуральні числа. А які числа будуть в результаті, якщо з одного натурального числа відняти інше натуральне число? Якщо з більшого натурального числа відняти менше, то результат теж буде натуральним числом. А яке число буде, якщо з меншого числа відняти більше? Наприклад, якщо з 5 відняти 7. Результат такої дії вже не буде натуральним числом, а буде числом менше нуля, яке ми напишемо як натуральне, але зі знаком «мінус», так званим, негативним натуральним числом. На цьому уроці ми познайомимося з негативними числами. Тому ми розширюємо безліч натуральних чисел, додаючи до нього «0» і цілі від'ємні числа. Нове розширене безліч буде складатися з чисел:

... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...

Ці числа називаються цілими. Отже, результат нашого прикладу 5 -7 = -2 буде цілим числом.

Визначення. Цілі числа - це натуральні, негативні натуральні і число «0».

Зображення цієї множини ми бачимо на градуснику для вимірювання температури на вулиці.

Температура може бути з «мінусом», тобто негативною, може бути з «плюсом» тобто позитивною. Температура 0 градусів не позитивна нейтрально, число 0 - межа, яка відокремлює позитивні числа від негативних.

Зобразимо цілі числа на числовій осі.

малюнок осі

Ми бачимо, що на числовій осі існує безліч чисел. Позитивні і негативні числа розділені між собою нулем. Негативні цілі числа, наприклад -1, читаються як «мінус одиниця» або «негативна одиниця».

Позитивні цілі числа, наприклад «+3» читається як позитивна 3 або просто «три», тобто у позитивних (натуральних) чисел знак «+» не пишеться і слово «позитивне» не вимовляється.

Приклади: відзнач на числової осі +5, +6, -7, -3, -1, 0 і т.д.

При русі вправо по числової осі числа збільшуються, а при русі вліво - зменшуються. Якщо ми хочемо збільшити число на 2, ми рухаємося вправо по координатної осі на 2 одиниці. Приклад: 0 + 2 = 2; 2 + 2 = 4; 4 + 2 = 6 і т. Д. І навпаки, якщо ми хочемо зменшити число на 3 ми будемо рухатися вліво на 3 одиниці. Наприклад: 6-3 = 3; 3-3 = 0; 0-3 = -3; и т.д.

1. Спробуй збільшити число (-4) за 3 кроки, збільшуючи кожен раз на 2 одиниці.

Рухаючись по числової осі, як показано на малюнку, ми отримаємо в результаті 2.

2. Зменш число 6 за шість кроків, зменшуючи його за кожен крок на 2 одиниці.

3. Збільш число (-1) за три кроки, збільшуючи його на 4 одиниці на кожному кроці.

За допомогою координатної прямої легко порівнювати цілі числа: з двох чисел більше те, яке на координатної прямої розташоване правіше, а менше то, що стоїть лівіше.

4. Порівняй числа, поставивши знак> або

3 і 2; 0 і -5; -34 і -67; -72 і 0 і т.д.

5. Згадай, як ми відзначали на координатному промені точки з натуральними координатами. Точки прийнято називати великими латинськими літерами . Намалюй координатну пряму, і взявши зручний одиничний інтервал, изобрази точки з координатами:

А) А (10), В (20), С (30), М (-10), N (-20)
Б) З (100), В (200), К (300), F (-100)
В) U (1000), Е (2000), R (-3000)

6. Запиши всі цілі числа, розташовані між -8 і 5, між -15 і -7, між -1 і 1.

Порівнюючи числа, ми повинні вміти відповісти на скільки одиниць одне число більше або менше іншого.

Намалюємо координатну пряму. Зобразимо на ній точки з координатами від -5 до 5. Число 3 на дві одиниці менше 5, на одиницю менше 4, на 3 одиниця більше нуля. Число -1 на одиницю менше нуля, на 2 одиниці більше -3.

7. Відповідай, на скільки одиниць:

3 менше 4; -2 менше 3; -5 менше -4; 2 більше -1; 0 більше -5; 4 більше -1

8. Намалюй координатну пряму. Випиши 7 чисел, кожне з яких на 2 одиниці менше попереднього, починаючи з 6. Яке у цього ряду останнє число? Скільки може бути всього таких чисел, якщо кількість виписуються чисел не обмежувати?

9. Випиши 10 чисел, кожне з яких на 3 одиниці більше попереднього починаючи з (-6). Скільки таких чисел може існувати, якщо ряд не обмежувати десятьма?

Протилежні числа.

На числової осі для кожного позитивного числа (або натурального) існує негативне число, розташоване зліва від нуля на такій же відстані. Наприклад: 3 і -3; 7 і -7; 11 і -11.

Кажуть, що число -3 є протилежним числа 3, і навпаки, -3 протилежно 3.

Визначення: Два числа, які відрізняються один від одного тільки знаком називаються протилежними.

Ми знаємо, що якщо помножити число на +1, то число не зміниться. А якщо число помножити на (-1), що буде? У такого числа зміниться знак. Наприклад, якщо 7 помножити на (-1) або негативну одиницю, то результат буде (-7), число стає негативним. Якщо (-10) помножити на (-1), то отримаємо (+10), т. Е. Отримуємо вже позитивне число. Таким чином, ми бачимо, що протилежні числа виходять простим множенням вихідного числа на (-1). Ми бачимо на числової осі, що у кожного числа існує тільки одне протилежне число. Наприклад, у (4) протилежне буде (-4), у кількості (-10) - протилежне буде (+10). Спробуємо знайти протилежне число у нуля. Его немає. Тобто 0 - протилежний самому собі.

А тепер подивимося на числової осі, що вийде, якщо скласти 2 протилежних числа. Ми отримуємо, що сума протилежних чисел дорівнює 0.

1. Гра: нехай ігрове поле поділене навпіл на два поля: ліве і праве. Між ними проходить розділова риса. На поле знаходяться числа. Перехід через межу означає множення на (-1), інакше при переході через роздільну лінію число стає протилежним.

Нехай в лівому полі знаходиться число (5). В яке число перетвориться (5), якщо п'ятірка перейде розділову смугу 1 раз? 2 рази? 3 рази?

2. Заповни наступну таблицю:

3. З безлічі пар вибери пари протилежних. Скільки таких пар ти отримав?

9; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Додавання і віднімання цілих чисел.

Додавання (або знак «+») означає рух вправо на числової осі.

1. 1 + 3 = 4

1. -1 + 4 = 3
2. -3 + 2 = -1

Віднімання (або знак »-«) означає рух вліво на числової осі

1. 3 - 2 = 1
2. 2 - 4 = -2
3. 3 - 6 = -3
4. -3 + 5 = 2
5. -2 - 5 = -7
6. -1 + 6 = 5
7. 1 - 4 = -3

Виріши наступні приклади з допомогою числової осі:

1. -3 + 1 =
2. 2) -4-1 =
3. -5-1 =
4. -2-7 =
5. -1 + 3 =
6. -1-4 =
7. -6 + 7 =

У Стародавньому Китаї при складанні рівнянь коефіцієнти зменшуються і віднімаються записувалися цифрами різного кольору. Прибуток -обозначалі червоною фарбою, а збитки - синьою. Приклад, продали 3 бика і купили 2 коні. Розглянемо ще один приклад: господиня принесла на ринок картоплю і продала її за 300 рублів, ці гроші ми додамо до майна господині і напишемо їх як +300 (червоне), а потім вона витратила 100 рублів (ці гроші ми запишемо як (-100) ( сині). Таким чином, вийшло, що господиня повернулася з ринку з прибутком в 200рублей (або +200). Інакше, числа, записані червоною фарбою завжди складали, а записані синьою фарбою вичитали. За аналогією, будемо синьою фарбою позначати негативні числа.

Таким чином, ми можемо все позитивні числа вважати виграшем, а негативні програшем або боргом або втратою.

Приклад: -4 + 9 = +5 результат (+5) можна розглядати як виграш в будь-якої гри; після того, як спочатку було програно 4 очка, а потім виграно 9 очок, то в результаті залишиться виграш в 5 очок. Виріши наступні завдання:

11. У грі в лото Петя спочатку виграв 6 очок, потім програв 3 очка, потім знову виграв 2 очка, потім програв 5 очок. Який результат гри у Петі?

12 (*). Мама прожила цукерки в вазочку. Маша з'їла 4 цукерки, Міша з'їв 5 цукерок, Оля з'їла 3 цукерки. Мама поклала ще в вазочку 10 цукерок, і у вазі стало 12конфет. Скільки цукерок було спочатку у вазі?

13. У будинку одна сходи ведуть з підвалу на другий поверх. Сходи складаються з двох прольотів по 15 сходинок кожен (один з підвалу на перший поверх, а другий з першого поверху на другий). Петя був на першому поверсі. Спочатку він піднявся по сходах на 7ступенек вгору, а потім спустився на 13 сходинок вниз. Де виявився Петя?

14. Коник стрибає вздовж числової осі. Один стрибок коника становить 3 ділення на осі. Коник спочатку робить 3 стрибки вправо, а потім 5 стрибків вліво. Де виявиться коник після цих стрибків, якщо спочатку він знаходився в 1) «+ 1»; 2) «-6»; 3) «0»; 4) «+5»; 5) «-2»; 6) «+ 3 »; 7)« -1 ».

До сих пір ми звикли до того, що розглядаються числа відповідали на питання «скільки». Але негативні числа не можуть бути відповіддю на питання «скільки». В життєвому сенсі негативні числа пов'язані з боргом, програшем, з такими діями, як недолив, недопригнул, недоважили і т.д. У всіх цих випадках ми просто віднімаємо борг, програш, надіявся. например,

1. На питання «Скільки буде« тисяча без 100 »?», Ми з 1000 повинні відняти 100 і отримаємо 900.
2. Вираз «3 години без чверті» - означає, що ми повинні відняти 15 хв з 3 годин. Отримаємо, таким чином, 2 години 45 хв.

А тепер виріши наступні завдання:

15. Саша купував 200гр. масла, але недобросовісний продавець недоважили 5 гр. Яку масу масла купив Саша?

16.На біговій дистанції в 5 км. Володя зійшов з дистанції, що не добігши до фінішу 200м. Яка відстань Володя пробіг?

17. Заповнюючи трилітрову банку соком мама не долила 100мл соку. Скільки соку вийшло в банку?

18. Кіно має розпочатися без двадцяти хвилин вісім. скільки хвилин У скільки годин і о котрій годині хвилин має розпочатися кіно?

19.У Тані було 200руб. і вона повинна Петі 50 руб. Після того, як вона віддала борг, скільки грошей залишилося у Тані?

20. Петя з Іваном пішли в магазин. Петя захотів купити книгу за 5 рублів. Але у нього виявилося тільки 3 рубля, і він зайняв у Вані 2 рубля і купив книгу. Скільки грошей виявилося після покупки у Петі?

3 - 5 = -2 (з того, що у нього було до покупки віднімемо вартість покупки, отримаємо -2 рубля, тобто два рубля боргу).

21. Вдень температура повітря була 3 ° тепла або + 3 °, а вночі 4 ° морозу або -4 °. На скільки градусів знизилася температура? І на скільки градусів нічна температура менше, ніж денна?

22. Таня домовилася зустрітися з Володею без чверті сім. У скільки годин і о котрій годині хвилин вони домовилися зустрітися?

23. Тіма з приятелем пішов в магазин купувати книгу, яка коштувала 97 рублів. Але коли вони прийшли в магазин, то з'ясувалося, що книга подорожчала, і стала коштувати 105 рублів. Тіма зайняв приятеля відсутню суму, і все-таки купив книгу. Скільки грошей Тіма став повинен приятелю?