1. Для невизначеного інтеграла [ правити | правити код ]
2. Для певного інтеграла [ правити | правити код ]

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Інтегрування по частинах - один з способів знаходження інтеграла . Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція може бути представлена ​​у вигляді добутку двох безперервних і гладких функцій (кожна з яких може бути як елементарної функцією, так і композицією ), То справедливі такі формули

для невизначеного інтеграла ∫ u d v = u v - ∫ v d u {\ displaystyle \ int u \, dv = u \, v- \ int v \, du}

або в іншому записі

∫ u v 'd x = u v - ∫ v u' d x {\ displaystyle \ int u \, v'dx = u \, v- \ int v \, u'dx} для визначеного інтеграла ∫ a b u d v = u v | ab - ∫ abvdu {\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} u \, dv = u \, v \, {\ bigg |} _ {a} ^ {b} - \ int \ limits _ { a} ^ {b} v \, du}

Передбачається, що знаходження інтеграла ∫ v d u {\ displaystyle \ int v \, du} простіше, ніж ∫ u d v {\ displaystyle \ int u \, dv} . В іншому випадку застосування методу не виправдано.

Для невизначеного інтеграла [ правити | правити код ]

Функції u {\ displaystyle \ textstyle {\ mathit {u}}} і v {\ displaystyle \ textstyle {\ mathit {v}}} гладкі , Отже, можливо диференціювання :

d (u v) = v d u + u d v {\ displaystyle d (u \, v) = v \, du + u \, dv}

Ці функції також безупинні, значить можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

∫ d (u v) = ∫ v d u + ∫ u d v {\ displaystyle \ int d (u \, v) = \ int v \, du + \ int u \, dv}

операція інтегрування обратна диференціювання:

u v = ∫ v d u + ∫ u d v {\ displaystyle u \, v = \ int v \, du + \ int u \, dv}

Після перестановок:

∫ u d v = u v - ∫ v d u {\ displaystyle \ int u \, dv = u \, v- \ int v \, du}

Не варто, однак, забувати, що це рівність мається на увазі в сенсі рівності множин, тобто, грубо кажучи, з точністю до константи, що виникає під час інтегрування .

Типову помилку «втрати» константи при поводженні з невизначеним інтегралом ілюструє наступний приклад- софізм :

∫ dxx = 1 x ⋅ x - ∫ - 1 x 2 ⋅ xdx = 1 + ∫ dxx {\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x}} = {\ frac {1} {x}} \ cdot x- \ int {\ frac {-1} {x ^ {2}}} \ cdot xdx = 1 + \ int {\ frac {dx} {x}}}

Звідси «слідство»: 0 = 1 {\ displaystyle 0 = 1} , Що очевидно невірно.

Для певного інтеграла [ правити | правити код ]

В цілому аналогічно нагоди невизначеного інтеграла:

d (u v) = v d u + u d v {\ displaystyle d (u \, v) = v \, du + u \, dv} ∫ abd (uv) = ∫ abvdu + ∫ abudv {\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} d (u \, v) = \ int \ limits _ {a} ^ {b} v \, du + \ int \ limits _ {a} ^ {b} u \, dv} ∫ a b u d v = u v | ab - ∫ abvdu {\ displaystyle \ int \ limits _ {a} ^ {b} u \, dv = u \, v \, {\ bigg |} _ {a} ^ {b} - \ int \ limits _ { a} ^ {b} v \, du}

Дані формули справедливі, якщо кожна з функцій u {\ displaystyle u} і v {\ displaystyle v} неперервно диференційовна на області інтегрування.

• ∫ x cos ⁡ xdx = ∫ xd (sin ⁡ x) = x sin ⁡ x - ∫ sin ⁡ xdx = x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C {\ displaystyle \ int x \ cos x \, dx = \ int x \, d (\ sin x) = x \ sin x- \ int \ sin x \, dx = x \ sin x + \ cos x + C}
• ∫ exxdx = ∫ xd (ex) = xex - ∫ exdx = xex - ex + C {\ displaystyle \ int e ^ {x} \, x \, dx = \ int x \, d (e ^ {x} \, ) = x \, e ^ {x} - \ int e ^ {x} \, dx = x \, e ^ {x} -e ^ {x} + C}
• Іноді цей метод застосовується кілька разів:

∫ x 2 sin ⁡ xdx = ∫ x 2 d (- cos ⁡ x) = - x 2 cos ⁡ x - ∫ - 2 x cos ⁡ xdx = {\ displaystyle \ int x ^ {2} \ sin x \, dx = \ int x ^ {2} \, d (- \ cos x) = - x ^ {2} \ cos x- \ int -2x \ cos x \, dx =} = - x 2 cos ⁡ x + ∫ 2 xd (sin ⁡ x) = - x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x - ∫ 2 sin ⁡ xdx = - x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x + C {\ displaystyle = -x ^ {2} \ cos x + \ int 2x \, d (\ sin x) = - x ^ {2} \ cos x + 2x \ sin x- \ int 2 \ sin x \, dx = -x ^ {2} \ cos x + 2x \ sin x + 2 \ cos x + C}

• Даний метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:

∫ ln ⁡ xdx = x ln ⁡ x - ∫ 1 xxdx = x ln ⁡ x - x + C {\ displaystyle \ int \ ln x \, dx = x \ ln x- \ int {\ frac {1} {x} } x \, dx = x \ ln x-x + C} ∫ arctg xdx = x arctg x - ∫ x 1 + x 2 dx = x arctg x - 1 2 ln ⁡ (1 + x 2) + C {\ displaystyle \ int \ operatorname {arctg} \, x \, dx = x \, \ operatorname {arctg} \, x- \ int {\ frac {x} {1 + x ^ {2}}} \, dx = x \, \ operatorname {arctg} \, x - {\ frac {1 } {2}} \ ln (1 + x ^ {2}) + C}

• У деяких випадках інтегрування по частинах не дає прямої відповіді:

I 1 = ∫ e α x sin ⁡ β x d x = {\ displaystyle I_ {1} = \ int e ^ {\ alpha x} \, \ sin {\ beta x} \, dx =} = ∫ e α xd (- 1 β cos ⁡ β x) = - 1 β e α x cos ⁡ β x + α β ∫ e α x cos ⁡ β xdx = - 1 β e α x cos ⁡ β x + α β I 2 {\ displaystyle = \ int e ^ {\ alpha x} \, d {\ Big (} - {\ frac {1} {\ beta}} \ cos {\ beta x} {\ Big)} = - { \ frac {1} {\ beta}} \, e ^ {\ alpha x} \, \ cos {\ beta x} + {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ int e ^ {\ alpha x} \, \ cos {\ beta x} \, dx = - {\ frac {1} {\ beta}} \, e ^ {\ alpha x} \, \ cos {\ beta x} + {\ frac {\ alpha } {\ beta}} \, I_ {2}} I 2 = ∫ e α x cos ⁡ β x d x = {\ displaystyle I_ {2} = \ int e ^ {\ alpha x} \, \ cos {\ beta x} \, dx =} = ∫ e α xd (1 β sin ⁡ β x) = 1 β e α x sin ⁡ β x - α β ∫ e α x sin ⁡ β xdx = 1 β e α x sin ⁡ β x - α β I 1 { \ displaystyle = \ int e ^ {\ alpha x} \, d {\ Big (} {\ frac {1} {\ beta}} \ sin {\ beta x} {\ Big)} = {\ frac {1} {\ beta}} \, e ^ {\ alpha x} \, \ sin {\ beta x} - {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ int e ^ {\ alpha x} \, \ sin { \ beta x} \, dx = {\ frac {1} {\ beta}} \, e ^ {\ alpha x} \, \ sin {\ beta x} - {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \, I_ {1}} Таким чином один інтеграл виражається через інший: {I 1 = - 1 β e α x cos ⁡ β x + α β I 2 I 2 = 1 β e α x sin ⁡ β x - α β I 1 {\ displaystyle {\ begin {cases} I_ {1} = - {\ frac {1} {\ beta}} \, e ^ {\ alpha x} \, \ cos {\ beta x} + {\ frac {\ alpha} {\ beta} } \, I_ {2} \\ I_ {2} = {\ frac {1} {\ beta}} \, e ^ {\ alpha x} \, \ sin {\ beta x} - {\ frac {\ alpha } {\ beta}} \, I_ {1} \ end {cases}}} Вирішивши отриману систему, отримуємо: I 1 = e α x α 2 + β 2 (α sin ⁡ β x - β cos ⁡ β x) + C {\ displaystyle I_ {1} = {\ frac {e ^ {\ alpha x }} {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}} {\ Big (} \ alpha \ sin {\ beta x} - \ beta \ cos {\ beta x} {\ Big)} + C} I 2 = e α x α 2 + β 2 (α cos ⁡ β x + β sin ⁡ β x) + C {\ displaystyle I_ {2} = {\ frac {e ^ {\ alpha x}} {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}} {\ Big (} \ alpha \ cos {\ beta x} + \ beta \ sin {\ beta x} {\ Big)} + C}

Існує узагальнення формули інтегрування частинами для функцій від декількох змінних. У такому випадку замість інтервалу розглядається підмножина R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} , А замість похідної - приватна похідна .

Нехай Ω {\ displaystyle \ Omega} відкрите обмежене підмножина R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} з кусочно-гладкою кордоном ∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega} . Якщо u {\ displaystyle u} і v {\ displaystyle v} гладкі функції на замиканні Ω {\ displaystyle \ Omega} , то

∫ Ω ∂ u ∂ xivdx = ∫ ∂ Ω uvnid σ - ∫ Ω u ∂ v ∂ xidx {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} v \, dx = \ int _ {\ partial \ Omega} uvn_ {i} \, d \ sigma - \ int _ {\ Omega} u {\ frac {\ partial v} {\ partial x_ {i}}} \, dx}

де n → {\ displaystyle {\ vec {n}}} - зовнішня нормаль до ∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega} , А n i {\ displaystyle n_ {i}} - її i-ая координата, i від 1 до n, σ {\ displaystyle \ sigma} - міра на ∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega} .

Також см. Математичний аналіз # Бібліографія .