Новий корпус Московської гімназії №1543 на Південно-Заході

Дана стаття присвячена розбору демонстраційного варіанта усній і письмовій частини вступного іспиту з математики в 8 клас Московської гімназії № +1543 на Південно-Заході. Сам демоваріант знаходиться на офіційному сайті гімназії у відкритому доступі. Розбір представлений професійним репетитором , Що спеціалізуються на підготовці школярів до вступних іспитів з математики та фізики в гімназії 1543 р Москви.

Письмова частина іспиту з математики в гімназію тисячі п'ятсот сорок три

1. Уявіть число 3 у вигляді дробу, у якої чисельник є п'ятий ступінь натурального числа, а знаменник - шостий ступінь натурального числа.

З умови отримуємо, що, причому. Тобто . Беремо корінь п'ятого ступеня з обох частин:. Підбираємо таким, щоб результат добування кореня п'ятого ступеня був натуральним. Підійде.

Знаходимо тепер значення:

Тобто шукане подання має вигляд:

2. Обчисліть:

Нехай. Тоді маємо:

3. Побудуйте графік функції

Область визначення цієї функції задається нерівністю, оскільки в знаменнику дробу не може бути нуля. Тобто, але:

Спростимо вираз, що стоїть праворуч:

Тобто графік вихідної функції - це графік лінійної функції, з якої вилучена точка з абсцисою.

4. Є два сплаву міді з цинком. У першому відношення маси міді до маси цинку 2: 1, у другому - 3: 2. Скільки кілограмів першого і другого сплаву потрібно взяти, щоб отримати сплав, в якому 17 кг міді і 27 кг цинку?

Нехай ми взяли кг першого сплаву і кг другого сплаву. Тоді загальна маса міді в обох сплавах дорівнює, і вона дорівнює 17 кг. А загальна маса цинку в обох сплавах дорівнює, і вона дорівнює 27 кг. Тобто має місце наступна система рівнянь:

У цієї системи немає рішень в позитивних числах. Відповідь до цієї системи. Швидше за все викладачі гімназії одна тисяча п'ятсот сорок три на Південно-Заході втомилися перевіряти вступні з математики і помилилися в умови. Маю на увазі, що замість фрази «сплав, в якому 17 кг міді і 27 кг цинку» малася на увазі фраза «сплав, в якому 17 кг цинку і 27 кг міді». Якщо так, то система приймає вигляд:

Множимо обидві частини другого рівняння на 2 і віднімаємо почленно з другого рівняння перше. В результаті отримуємо наступне рівняння:, звідки отримуємо кг. Підставляємо це значення в перше рівняння і отримуємо, звідки кг. Тобто потрібно взяти 9 кг першого сплаву і 35 кг другого.

Зобразимо ситуацію на малюнку:

Фіолетовими лініями на малюнку позначені серединні перпендикуляри. Всі точки серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалені від кінців цього відрізка. Значить, CQ = QM і AP = PM. Тобто трикутники CQM і APM - рівнобедрений. Кути при їх підставах дорівнюють. Тобто

(1)

Розглянемо трикутник AMC. У цьому трикутнику ∠ AMC = 110 °. Значить, сума останніх двох кутів дорівнює 70 °, так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °. Тобто ∠ CAM + ∠ ACM = 70 °.

З іншого боку в трикутнику ABC ∠ B = 40 °. Значить, з тієї ж причини два залишилися кута в сумі дають 140 °. Тобто ∠ PAC + ∠ ACB = 140 °. Віднімаємо почленно з останнього рівняння передостаннє і отримуємо:

Дивлячись на малюнок, отримуємо ∠ PAM + ∠ MCQ = 70 °. З урахуванням рівності (1), отримуємо ∠ CMQ + ∠ AMP = 70 °. Тобто ∠ CMQ + ∠ AMP + ∠AMC = 180 °. Тобто ∠ PMQ - розгорнутий, тобто точки P, Q і M лежать на одній прямій. Що й потрібно було довести.

6. Яку мінімальну кількість точок треба поставити всередині опуклого п'ятикутника, щоб усередині будь-якого трикутника, вершинами якого є вершини п'ятикутника, виявилася принаймні одна точка?

Можна переконатися, що однієї або двох точок мало. Жодна конфігурація в цьому випадку не підійде. А ось трьох точок вже досить. І розташувати їх всередині п'ятикутника потрібно наступним чином:

Дійсно, в цьому випадку всередині будь-якого трикутника, вершинами якого є вершини п'ятикутника, виявляється одна точка:

Отже, правильна відповідь до цього завдання: 3.

Примітка. Зрозуміло, що малювати всі ці конструкції на іспиті не потрібно. Тут вони наведені виключно з міркувань наочності.

Усна частина вступного з математики в 8 клас Московської гімназії № тисяча п'ятсот сорок три на Південно-Заході

Так можна. Наприклад, так:

Нехай - число стовпців в таблиці. Оскільки сума чисел у кожному стовпці дорівнює 10, то сума всіх чисел у всіх шпальтах дорівнює. Аналогічно, нехай - число рядків в таблиці. Оскільки сума чисел у кожному рядку дорівнює 10, то сума всіх чисел у всіх рядках дорівнює. Але сума чисел у всіх рядках дорівнює сумі чисел у всіх шпальтах, оскільки це одні і ті ж числа. Тобто, тобто. Що й потрібно було довести.

3. З тризначного числа відняли суму кубів його цифр. Яке найбільше число могло при цьому статися?

Нехай саме число має вигляд, де, і - цифри цього числа, причому. Тоді саме число одно, а його різницю з сумою кубів його цифр дорівнює:

Простим перебором переконуємося, що перший доданок дає максимальний внесок в загальну суму при, друге - при, третє - при або. Тобто шукане число - це або 621, або 620. І в тому, і в іншому випадку максимальна різниця між самим числом і торбою кубів його чисел дорівнює 396.

4. Білка зібрала 10 горіхів масою 100 г. Жоден горіх НЕ важить більше 12 м Чи завжди білка зможе роздати горіхи двом своїм білченяти так, щоб ніхто з них не образився. (Бельчонок ображається, якщо він отримав а) хоча б на 10 г менше; б) більш, ніж на 10 г менше, ніж брат).

Ні, зможе не завжди. Припустимо, що білка зібрала 9 горіхів масою по 11,1 г і 1 горіх масою 0,1 г. Якщо їх розділити між білченяти, то у якогось бельчонка виявиться горіх масою 0,1 г, а всі інші масою по 11,1 г, а у другого все горіхи будуть масою по 11,1 г. При спробі розділити їх так, щоб різниця між загальною масою горіхів у кожного з бельчат була найменшою, у першого бельчонка буде 4 горіха по 11,1 г і 1 горіх масою 0 , 1 г (загальна маса 44,5 г), а у другого - 5 горіхів по 11,1 г (загальна маса 55.5 г). Різниця між масами горіхів у бельчат складе 11 м Значить, перший білченя образиться, як у випадку а), так і в разі б).

5. Ілля стоїть на автотрасі Москва - Володимир, а повз нього проїжджають машини: «МАЗ» (у Володимир), «Ауді» (в Москву) і «Камаз» (у Володимир). У той момент, коли повз Іллі проїхав «МАЗ», «Ауді» і «Камаз» були від нього на рівних відстанях. Коли повз Іллі проїхав «Ауді», «МАЗ» та «Камаз» були від нього на рівних відстанях. Ілля вважає, що коли повз нього проїде «Камаз», «МАЗ» та «Ауді» будуть від нього також на рівних відстанях. Чи правий він?

Нехай швидкість машини «Ауді» становить, швидкість машини «МАЗ» становить, швидкість машини «Камаз» також становить.

Розглянемо спочатку випадок, коли спершу повз Іллі проїжджає «МАЗ». Нехай в цей момент відстані від Іллі до машин «Ауді» і «Камаз» рівні за. Тоді машина «Ауді» проїдемо повз Іллі через. При цьому машина «Камаз» в цей момент виявиться від Іллі на відстані

Одночасно машина «МАЗ» від'їде від Іллі на відстань то ж (за умовою) відстань. Значить має місце рівність:

Після того, як повз Іллі проїде «Ауді» має пройти ще часу, щоб «Камаз» під'їхав до Іллі. Тоді відстань від Іллі до «Ауді» стане одно. А відстань від Іллі до «МАЗа» стане одно:

Значить. Тобто в даному випадку Ілля прав. Другий випадок, коли спершу повз Іллі проїжджає «Ауді», доводиться абсолютно аналогічно. Відповідь: Ілля прав.

6. Петя стоїть на прямолінійній дорозі, що проходить по полю. Швидкість руху Петі по полю 3 км / год, а по дорозі - 6 км / год. Відзначте на малюнку ті точки, куди Петя може дійти не більше, ніж за годину.

Припустимо, що в початковий момент Петя знаходиться в точці A на прямолінійній дорозі. Тоді він може пройти по дорозі 6 км вправо або вліво до точок A і B:
Він також може піти з точки A по полю. Тоді після 1 ч руху він виявиться в будь-якій точці поля всередині кола радіусом 3 км. На малюнку DE - діаметр цього кола:

У Петі, однак, залишається також варіант пройти спершу деяку відстань по дорозі, а потім почати рухатися по полю. Наприклад, якщо він пройде півгодини по дорозі у напрямку до точки C (див. Малюнок вище), то він виявиться рівно на середині відрізка AC. І у нього залишається ще півгодини, щоб дістатися на будь-якої точки на поле всередині кола радіусом км:

Звернемо увагу, що радіус кола вийшов вдвічі менше відстані від центру цього кола до точки C. Фокус в тому, що це співвідношення залишається постійним для будь-якої точка на дорозі. Дійсно, нехай Петя рухався до якоїсь точки на дорозі час ч, тоді час, що залишився руху становить ч. За цей час Петя може продовжити свій рух по дорозі і пройти ч або піти по полю і опинитися в будь-який його точці всередині кола радіусом км, що вдвічі менше.

Сказане означає, що якщо провести дотичні до кожної зображеної кола з точки C, то все радіуси цих кіл, проведені в точки дотику, будуть перпендикулярні дотичним і будуть удвічі менше відстаней від центрів цих кіл до точки C. Тобто кожна дотична буде нахилена під кутом до дороги і проходити через одну точку C. тобто насправді всі ці дотичні будуть збігатися. До всіх колах буде одна загальна дотична:

Зрозуміло, що абсолютно симетрична ситуація вийшла б, якби Петя пішов вліво від точки A. Тобто область, яка містить всі точки, куди Петя зможе дійти не більше, ніж за годину, виглядає наступним чином:

7. У трикутнику ABC на стороні AC обрана точка D так, що BC = BD. На стороні AB обрані точки P і Q так, що ∠ PDA = ∠ QCA = ∠ BAC. Доведіть, що AP = BQ.

На малюнку ситуація виглядає наступним чином:

Відзначимо відразу, що прямі PD і QC паралельні, оскільки рівні відповідні кути ADP і ACQ при січної DC. Крім того, трикутники ADP і AC Q - рівнобедрений з підставами AD і AC, відповідно.

Виконаємо наступне додаткове побудова. По-перше, проведемо через точку B пряму, паралельну прямим DP і QC, потім продовжимо сторону AC до перетину з цієї прямої в точці E. По-друге, через точку C проведемо пряму, паралельну стороні AB до перетину з прямою BE в точці F. В результаті отримаємо наступний малюнок:

∠ ADP = ∠ ACQ = ∠ AEB, так як ці кути відповідні при паралельних прямих DP, CQ і EB. Тобто ∠ EAB = ∠ AEB. Значить, трикутник ABE - рівнобедрений, і AB = BE,

Трикутник DBC - рівнобедрений. Значить кути при його підставі рівні. Тобто кут ∠ BDC = ∠ DCB. Значить, ∠ ADB = ∠ BCE, так як вони суміжні з ∠ BDC і ∠ DCB, відповідно.

Значить, два кути трикутника ADB відповідно рівні двом кутам трикутника BCE, тому рівні і треті кути. Тобто ∠ ABD = ∠ EBC.

Тобто рівні трикутники ADB і CBE по двох сторонах і куту між ними (AB = BE, BD = BC і ∠ ABD = ∠ CBE). Значить, AD = CE.

З цього випливає, що по стороні і двом прилеглим до неї кутам рівні трикутники ADP і AFE (∠ DAP = ∠ ECF, ∠ ADP = ∠ CEF і AD = CE). Значить, AP = PD = CF = EF. Нам важливо, що AP = CF.

За побудовою QCFB - паралелограм. Значить, CF = QB, так як у паралелограма протилежні сторони рівні. Значить, AP = CF = QB. Тобто AP = QB. Що й потрібно було довести.

8. У неділю кожен з учнів класу один раз побував на ковзанці. Відомо, що кожен хлопчик зустрів там всіх своїх однокласниць. Доведіть, що або всі хлопчики, або всі дівчатка з цього класу в якийсь момент були на ковзанці одночасно.

Якщо знайдуться якісь два хлопчика, які не зустрілися один з одним, то кожен з них повинен був перебувати на ковзанці в той момент, коли там були всі дівчатка. Інакше ці хлопчики зустрілися б не з усіма дівчатами, що суперечить умові. Аналогічно, якщо знайдуться якісь дві дівчинки, які не зустрілися один з одним, то кожна з них повинна була знаходитися на ковзанці в той момент, коли там були всі хлопчики. Інакше ці дівчатка зустрілися б не з усіма хлопчиками, що також суперечить умові. Значить був такий момент, коли або все хлопчики, або всі дівчатка були на ковзанці одночасно. Що й потрібно було довести.

Ось такі завдання пропонуються для вирішення на вступному іспиті з математики в 8 клас Московської гімназії №1543 на Південно-Заході. Якщо вам потрібна допомога в підготовці до вступних іспитів з математики або фізики в гімназію 1543, рекомендуємо вам звернутися до професійного репетитора Сергію Валерійовичу, який займається підготовкою школярів до цих іспитів. Всю необхідну інформацію про репетитора і його заняттях ви зможете знайти на цій сторінці . Успіхів вам у підготовці та удачі на іспитах!